Barış Yalın Uzunlu Tomorrow için kaleme aldı: Googology – Giriş ve Özel Notasyonlar

İnanılmaz derecede büyük ama sonlu sayılar deyince aklınıza ne geliyor?

Hepsini unutun. Bu dizide bahsedeceğim bazı özel (ama sonlu) sayılar karşısında bunların tamamı sıfırdan farksız. Matematikte özel olarak bu sayılarla ilgilenen alana googology deniyor. Üstüne basa basa sonlu diyorum, çünkü sonsuzluk bir sayı değil kavramdır. Daha çok felsefenin konusudur, matematiksel olarak pek de bir karşılığı yoktur. Fakat sonsuzdan bir adım geride, bizim için anlamlı olabilecek ne var sorusunun cevabını arıyoruz. İşte ben de sınırları zorlamak adına bu dizide googology’nin konusu olan en büyük sayıları tanıtacağım. “Bunlardan binlerce yok mu, neye göre seçtin” derseniz cevabı basit: Sayıların herhangi bir matematiksel ispatta kullanılması, ilginç bir hikâyesinin olması ve genel anlamda popülaritesi gibi etmenleri göz önüne aldım. Bu arada, büyük sayıların yanında astronomik hızla artan seriler (fast-growing hierarchy)de konumuz dâhilinde.

Üzülerek belirteyim, özellikle bu yazıda gerek notasyonları açıklayabilmek, gerekse bu bahsedeceğim sayılara nasıl ulaşılacağını gösterebilmek adına küçük hesaplamalar yapmak zorunda kaldım. Sıkıcı olmamak adına en fazla birkaç adım ilerledim (benim eğlenceli olmak gibi bir derdim yok, devam edeceğim deseniz bile maalesef edemeyeceksiniz. Sayılar inanılmaz bir hızla büyüyor).

Son olarak: “Normal” sayılarla ilgilenmediğimiz için, haliyle bildiğimiz notasyon ve matematiksel operatörler (+ , - , x, ! gibi) de bunları ifade etmek için yetersiz kalıyor. Dolayısıyla ilk aşamada bu alanda kullanılmak için geliştirilen üç temel notasyonu kısaca tanıtacağım. Sıralama güçsüzden güçlüye doğru.

Knuth Yukarı Ok Notasyonu (↑)

Amerikalı bilgisayar bilimcisi ve matematikçi Donald Knuth tarafından geliştirilen yukarı-ok notasyonu, çok büyük sayıları (Graham sayısı gibi) ifade etmek için kullanılıyor. İlk defa kendisinin ortak yazarı olduğu “Concrete Mathematics” isimli kitapta tanımlanan bu notasyonun ne anlama geldiğini adım adım açıklayalım:

Fark ettiyseniz, henüz yalnızca 2 adet ok kullandık ve seri bir anda 27’den 7,6 trilyona çıktı. Bir adım daha ileriye gidelim:

Hayal ettiğiniz(!) sayı o kadar büyük ki, onu ifade etmede yukarı ok notasyonu yetersiz mi kalıyor? O zaman bir de şunu deneyin:

Polonyalı bir matematikçi olan Hugo Steinhaus, 1938 yılında yayınlanan Mathematical Snapshots kitabında çok büyük sayıları ifade edebilmek için çeşitli geometrik şekillerin içine sayı yazma fikrini tanıttı (Ben yazı düzenini bozmamak adına sayıları şekillerin içine yazamadım). Şöyle ki, 

Bu notasyonların büyüme hızlarını daha rahat kavrayabilmeniz adına karşılaştırmalı bir tablo da hazırladım.

Serinin ikinci yazısı, meşhur Graham sayısı üzerine olacak.